Sistem Waktu Diskrit Dan Sistem Waktu Kontinu

SISTEM WAKTU DISKRIT 
DAN 
SISTEM WAKTU KONTINU

• SISTEM WAKTU DISKRET

          Sebuah sistem waktu-diskret, secara abstrak, adalah suatu hubungan antara barisan masuk­an dan barisan keluaran. Sebuah sistem waktu-diskret mencirikan bagaimana suatu barisan masukan {u(k)} ditransformasikan ke dalam suatu barisan keluaran {y(k)}. Jenis sistem ini menjadi semakin penting dikarenakan kemajuan-kemajuan dalam teknologi untuk mem­produksikan rangkaian-rangkaian mikro digital (digital microcircuits). Kecepatan pengo­lahannya yang semakin tinggi dan harganya yang cukup rendah telah membuat jenis sistem ini bersaing dengan rangkaian-rangkaian op-amp dan RLC yang lebih tradisional. Desain dan analisis dari sistem-sistem diskret akan terus bertumbuh dan melengkapi rangkaian­-rangkaian (analog) waktu-kontinu. Pada umumnya, sistem-sistem waktu-diskret digunakan untuk memroses sinyal-sinyal yang muncul sebagai sinyal-sinyal waktu-kontinu. Jadi, ada suatu proses pencuplikan (sampling) yang mentransformasikan suatu sinyal waktu_:kontinu u(t) ke dalam suatu himpunan cuplikan-cuplikan berspasi (jarak antara) sama {u(kT)} yang kemudian diproses oleh sistem waktu-diskret.

Salah satu contoh dari penerapan sistem-sistem diskret adalah dalam bidang sistem audio digital piringan kompak (compact-disk audio digital). Dengan sistem ini, bahan audio bukannya direkam sebagai suatu sinyal analog melainkan dicuplik dengan suatu pengubah analog-ke-digital (analog-to-digital converter = ADC) dan direkam dalam bentuk digital, sama halnya dengan data-data digital lainnya. Selama pemutaran kembali, informasi ini di­ubah kembali ke bentuk analog dengan sebuah pengubah digital-keanalog yang meng­hasilkan kembali suatu bentuk-gelombang (waveform) yang melewati cuplikan-cuplikan dari bentuk-gelombang semula. Bentuk-gelombang analog yang dihasilkan ini kemudian dile­watkan melalui sebuah sistem penguat/pengeras suara konvensional. Keuntungan dari pen­dekatan baru ini terhadap perekaman dan pemutaran kembali musik cukup banyak. Jang­kauan dinamiknya (dynamic range) dinaikkan dari kurang daripada 70 db ke lebih daripada 90 db. Dengan menggunakan sebuah sandi pembetulan-kesalahan (error-correction code), informasi digital dapat diproduksi kembali tanpa kesalahan mendasar yang disebabkan oleh hal-hal seperti berbagai goresan dan sidik-jari pada piringan kompak. Karena informasi digi­tal, pada hakekatnya, bebas dari kata-ke-kata, maka pemisahan stereo antara saluran-salur­an (channels) menjadi lebih daripada 90 db dibandingkan dengan pemisahan stereo analog yang hanya 25 hingga 30 db. Dengan majunya teknologi pembuatan rangkaian-mikro digi­tal, maka jenis-jenis sistem audio ini pasti akan menggantikan sistem analog yang lebih tra­disional. Dan contoh penggantian sistem-sistem analog atau kontinu dengan digital ini akan terus berlangsung dalam penerapan begitu teknologi mempermurah harganya dan memperbesar kerapatan berbagai rangkaian-mikro pada sebuah chip (serpihan).

Disini akan digunakan notasi {u(kT)} atau u untuk menunjukkan keseluruhan barisan. Sebagairnana dibahas di depan, nilai-nilai barisan ditunjukkan oleh notasi-notasi u(k), u_k dan u(kT) di mana k adalah sebarang bilangan bulat. Barisan dapat didefinisikan dalam dua cara:

a.    Merincikan suatu aturan untuk menghitung nilai ke-k dari barisan. Sebagai contoh:

             
                       f = {1,1/2, ¼, …. (1/2)^k, …)

adalah setara dengan perincian:

                                

                                               

b.    Mendartarkan nilai-nilai barisan secara ekplisit. Sebagai contoh:

                   F = {… , 0, 0, 1, 5, -3, 2.5, 0, 0, ...)

                                            ↑

Tanda-panah digunakan untuk menunjukkan suku k = 0. Disini akan diguna­kan perjanjian bahwa jika tanda-panahnya diabaikan, maka suku pertama adalah suku k = 0 dan semua nilai barisan adalah nol untuk k < 0.

Sekarang dapat didefinisikan jumlah dari dua barisan {a_k} + {b_k} sebagai barisan {c_k}, di mana c_k = a_k + b_k. Hasilkali dari dua barisan {a_k}{b_k} adalah barisan {c_k} dengan nilai-­nilai = a_kb_k. Hasilkali dari sebuah tetapan α dan sebuah barisan {a_k} adalah barisan {c_k} dengan nilai-nilai c_k = αa_k.

Sebuah sistem waktu-diskret dapat dilukiskan dalam berbagai cara. Elemen-elemen po­kok dalam suatu sistem waktu-diskret adalah penjumlah (adders) (yang menjumlah dua bilangan bersama), pengali (multipliers) (yang mengalikan dua bilangan bersama), dan ele­men-elemen unit-tunda (unit-delay) (yang menyimpan bilangan-bilangan). Meskipun tidak­lah perlu untuk memahami implementasi (implementation) atau pelaksanaan fisis dari sis­tem-sistem waktu-diskret, namun kadang-kadang pemahaman sifat-sifat matematisnya juga diperlukan.

Cara lain untuk mengimplementasikan suatu sistem waktu-diskret adalah dengan menuliskan perangkat lunak. (software), yakni, sebuah program, bagi sebuah komputer serba guna. Dalam kasus ini, untuk barisan masukan u dan nilai-nilai yang disimpan dalam unit-unit tunda yang diketahui seseorang dapat menghitung tiap-tiap keluaran bagi tiap-tiap masukan baru, dalam barisan, seperti diperlihatkan pada gambar 2.1b.

Metode ketiga untuk melukiskan sebuah rangkaian waktu-diskret adalah dengan meng­gunakan suatu deskripsi matematis. Dalam kasus ini, deskripsi yang tepat adalah suatu per­samaan beda linear atau pengulangan (difference or recursion equation) dengan koefisien-­koefisien tetap. Karena keluaran dari sistem adalah pada keluaran dari penjumlah atau akumulator (accumulator), maka penulisan persamaan ini mudah dilakukan. Hasilnya adalah suatu persamaan beda yang mengaitkan keluaran kini y(k) dengan masukan u(k)dan nilai-nilai keluaran yang lalu y(k-1) dan y(k-2) sebagai berikut:
                             
                                               

Memori atau ingatan (memory) dari sebuah sistem waktu-diskret terkandung dalam ele­men-elemen unit-tunda. Dalam contoh ini, memori-memori menyimpan kedua nilai yang lalu dari barisan keluaran y(k-1) dan y(k-2). Memori dari sistem kadang-kadang disebut keadaan sistem (state of the system) karena ia berguna untuk meringkaskan semua penga­laman (history) sistem yang lalu. Perlu dicatat bahwa pengulangan dari suatu persamaan beda sebenarnya adalah suatu jumlah tak berhingga persamaan-persamaan, satu untuk tiap­-tiap nilai k. Bila diberikan suatu syarat awal dalam mana   y(k_o-1) dan y(k_o-2) merupa­kan nilai-nilai yang diketahui, maka seseorang dapat menggunakan persamaan pengulangan ini untuk mencari barisan keluaran dengan "simulasi" (simulation) untuk k  k_o dan u(k), k k_o yang diketahui. Bentuk perhitungan ini pada dasarnya sama seperti perwujudan perangkat-lunak dari sistem yang diberikan pada gambar 2.1b. Dan seringkali disebut suatu simulasi dari sistem waktu-diskret.

Beberapa contoh lain dari sistem waktu diskret diberikan sebagai berikut.

Contoh 2.2: Tentukan model persamaan beda bagi rangkaian waktu-diskret yang diperlihatkan pada gambar 2.2. Elemen unit tunda merupakan elemen ingatan yang menahan masukan yang lalu selama satu siklus pewaktu. Jadi keluaran unit tunda yang pertama adalah y_k-1. De­ngan cara yang sama, keluaran unit tunda kedua adalah y_k-2. Dengan menyamakan keluar­an penjumlah y_k dengan panah yang masuk, diperoleh:

                                   

sebagai model persamaan beda bagi rangkaian tersebut. Perhatikan bagaimana cepatnya se­seorang dapat menuliskan persamaan untuk sistem semacani ini.                          

                                 
                                Gambar 2.2 Diagram blok untuk sistem waktu diskret dari contoh 2.2.

Contoh 2.3: Setiap satu siklus pada suatu proses kimia, u_k liter bahan kimia A dan 100 - u_k liter bahan kimia B ditambahkan pada 900 liter campuran dalam suatu bejana besar di mana 0  u_k  100, k = 1, 2, 3, . . Isi bejana tersebut diaduk dengan sempurna dan 100 liter campuran dikeluarkan. Ambil y_k sebagai konsentrasi fraksional bahan kimia A dalam cam­puran yang dikeluarkan, yakni 1000y_k merupakan jumlah bahan kimia A dalam bejana. Untuk memperoleh hubungan pengulangan atau rekursi (recursion) bagi y_k, jumlah total bahan kimia A pada siklus k disamakan dengan jumlah bahan kimia A pada siklus k-1 ditambah dengan sebarang masukan. Jadi

               
                                       

                                                                                          (2.1)

            Persamaan (2.1) menyatakan bahwajumlah bahan kimia A pada siklus k adalah jumlah pada siklus k - 1 ditambah jumlah yang ditambahkan pada siklus k.

                                                                                                           

                      

Contoh 2.4: Pertumbuhan geometris merupakan suatu model yang digunakan pada banyak bidang. Andaikan suatu populasi tertentu mempunyai N_t  individu pada akhir tahun t dengan t = 0, 1, 2,…... Populasi diketahui meningkat dengan laju relatif 2% per tahun. Yaitu, ke­naikan populasi setiap tahun sebanding dengan populasi pada awal tahun. Tetapan perban­dingan di sini adalah 0,02. Jadi, karena kenaikan populasi adalah N_t+1-N_t, maka akan dipunyai persamaan beda:

                                                                 

dengan N_o merupakan populasi awal. Perhatikan bahwa dalam contoh ini masukan adalah nol. Keluaran bertambah karena syarat awal (populasi) N₀ tidak nol.                                       

Contoh 2.5: Teori informasi adalah bidang yang berkaitan dengan bagaimana mengirimkan sinyal (in­formasi) secara efisien. Medium lewat mana sinyal dikirim disebut kanal (channel). Setiap kanal fisis memiliki batasan teoritis (karena bising dan lebar pita) dalam jumlah informasi persatuan waktu yang dapat dikirim lewat kanal tanpa kesalahan. Ini disebut kapasitas ka­nal C. Satuannya adalah bit per detik dan secara formal didefinisikan sebagai:


                                (2.3)         

                                  
Pada (2.3), N_t adalah jumlah pesan yang dapat dikirimkan selama selang t. Jadi, untuk kanal tertentu, jika jumlah "pesan" per satuan waktu yang dapat dikirimkan meningkat maka kapasitasnya meningkat.

Andaikan dipunyai sistem komunikasi yang hanya menggunakan dua simbol. Katakanlah S₁ dan S₂, misalnya titik dan garis. Pesan dibuat dari kombinasi simbol S_i dan S_2. Andaikan bahwa S₁ berakhir t_i detik dan untuk S2 adalah t₂ detik. Ambil N_t sebagai jumlah pesan dengan selang t. Berapakah kapasitas kanal ini?

Dalam rangka menghitung kapasitas, N_t harus dihitung. N_t dapat dihi­tung dengan mengembangkan suatu pengulangan bagi N_t. Berapa banyakkah pesan yang ada dalam selang t detik? Jumlah total dapat dibagi dalam dua kelompok, yakni yang ber­akhir pada simbol S₁ dan yang berakhir pada simbol S₂. Berapa banyakkah yang berakhir pada S₁? S₂ berakhir t₁ detik. Jadi ada (t-t₁) detik sebelum S₁ mulai. Berdasarkan pada defi­nisi, ada N_t-t1 pesan dalam selang ini. Begitu pula, jumlah total pesan selama selang t yang berakhir pada S₂ harus berjumlah N_t-t2. Karena jumlah total pesan N_t berakhir pada masing-masing S₁ atau S₂, maka didapatkan:

                                

                        (2.4)                                            

Untuk menghitung kapasitas kanal, persamaan (2.4) harus dipecahkan untuk N_t dan ke­mudian memakai persamaan (2.3) untuk memperoleh C. Jika misalnya t₁ = 1 dan t₂ = 2, maka berdasarkan pada persamaan (2.4) disusutkan menjadi

    

                                 (2.5)

Syarat-syarat awal adalah N₁ dan N₂, yang berturut-turut merupakan jumlah pesan selama selang 1 dan 2 unit waktu. Dalam hal ini N₁ = 1, N₂ = 2. Jika t₁ = t₂ = 1, apakah anda mengharap kapasitas kanal menjadi meningkat atau menurun dibandingkan dengan kasus t₁ = 1 dan t₂ = 2?

• SISTEM WAKTU KONTINU

          Sistem-sistem waktu-kontinu barangkali lebih dikenal oleh para mahasiswa teknik tahap sarjana karena telah banyak ditinjau dalam kuliah-kuliah sebelumnya mengenai rang­kaian listrik dan mekanika. Deskripsi matematik dasar dari sistem-sistem adalah persamaan diferensial linear dengan koefisien tetap (dengan mengandaikan sistem-sistemnya berparameter tetap) berbentuk:

\     (2.6)

Dalam model ini, masukan u(t) dan fungsi keluaran y(t) merupakan fungsi kontinu dari variabel riil t yang biasanya adalah variabel waktu.

Contoh 2.6: Jaringan listrik merupakan contoh klasik sistem yang dapat dimodelkan oleh persamaan di­ferensial. Persamaan yang melukiskan rangkaian diperoleh dengan menggunakan kedua hu­kum Kirchoff. Tinjaulah jaringan yang terlihat pada gambar 2.3. Hukum Kirchoff te­gangan yang diterapkan sekeliling untaian (loop) tunggal menghasilkan persamaan:

                                 (2.7)

Persamaan (2.7) dapat dirubah menjadi persamaan yang hanya mengandung turunan dengan  mendeferensiasikan kedua belah ruas terhadap t, diperoleh:

                                        (2.8)

Dalam rangka memecahkan (2.8) harus ditentukan syarat-syarat awal bagi jaringan ini. Jika diandaikan bahwa sakelar tertutup pada saat t = 0, maka arus pada untaian sesaat setelah sakelar ditutup, i(0⁺), adalah nol karena arus tidak dapat berubah secara sesaat, melalui induktor. Jadi tidak ada arus yang mengalir pada t = 0^4- dan tegangan total yang muncul sepanjang induktor, adalah

                                                    

                                                  

atau                                                                                                                             (2.9)

                            

Gambar 2.3 Rangkaian elektris untuk contoh 2.6

Persamaan (2.9) dan i(0⁺) adalah syarat-syarat awal dari rangkaian. Jadi persoalannya ada­lah memecahkan:

                                                          

Contoh 2.7: 

Persamaan diferensial linear digunakan sebagai model bagi kebanyakan persoalan fisika. Tinjaulah suatu contoh ideal dari pembuatan saluran limbah (got = sewage). Sebuah kolam penampungan berisi cemaran (pollutant) tertentu dengan konsentrasi C. Limbah yang belum diolah yang ditambahkan ke kolam, berisi cemaran dengan konsentrasi lebih tinggi daripada konsentrasi cemaran pada kolam. Setelah beberapa lama dalam kolam, bakteri mempengaruhi cemaran dan campuran dibiarkan mengalir ke sungai. Gambar 2.4 menunjukkan situasi tersebut. Andaikan bahwa laju masukan adalah mantap yaitu i₁ gal/ min dengan konsentrasi cemaran masukan adalah C₁ lb/gal. Aliran keluaran adalah mantap yaitu i₂ gal/min. Kolam mula-mula berisi G_o gallon dengan cemaran P_o pon. Persoalannya adalah menentukan berapa lama campuran dapat dikosongkan ke sungai sebelum konsentrasi melebihi standar pemerintah 0,1C₁.

Dengan laju aliran limbah yang masuk dan yang keluar kolam tetap, maka isi air total dalam kolam adalah:

Isi total pada saat t = G_o + (i₁-i₂)t gallon

Ambil P(t) sebagai berat cemaran dalam pon pada saat t. Laju perubahan jumlah cemaran adalah dP(t)/dt. Laju perubahan ini sama dengan jumlah yang memasuki kolam,C₁i₁, diku­rangi jumlah yang meninggalkan kolam, i₂P(t)/(isi total). Jadi:

atau:                                                                      

(2.10)                           

                                      Gambar 2.4 Model perawatan saluran gedung untuk contoh 2.7

Persamaan (2.10) adalah persamaan diferensial linear orde satu dengan koefisien-koefisien yang bergantung pada waktu. Persamaan tersebut dapat dipecahkan dengan mudah dengan menggunakan teknik standar. Disini akan diutamakan sistem berparameter tetap yang memiliki koefisien tetap, misalnya, keadaan yang diperoleh dengan i₁=i₂.

Pada bagian-bagian berikutnya akan disajikan beberapa metode untuk menganalisis sis­tem yang dinyatakan oleh persamaan beda dan persamaan diferensial. Pertama akan disajikan untuk sistem waktu-diskret dan kemudian untuk sistem waktu-kontinu. Untuk kedua kelompok sistem ini, terdapat persamaan matematik yang sangat mirip. Jadi, sangat­lah membantu untuk mengingat proses pemecahan sistem waktu-diskret, pada saat mempe­lajari sistem waktu-kontinu, dan sebaliknya. Pertama-tama akan dibahas sistem waktu-­diskret karena matematiknya cenderung lebih mudah.

Salah satu tujuan bahan ini adalah untuk menyajikan beberapa deskripsi alternatif dari suatu sistem linear. Masing-masing deskripsi akan dibahas secara terinci dan beberapa metode untuk menyatakan suatu deskripsi dalam deskripsi yang lainnya. Semen­tara membaca bahan ini dan menghadapi deskripsi baru dari sistem yang sama, coba­lah nyatakan tiap-tiap model dalam paramater-parameter dari deskripsi yang lainnya. Jenis transformasi ini bermanfaat dan akan membantu dalam memahami sifat-sifat berbagai deskripsi.